Question

3．如图所示，正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，F，G分别为CE，AB的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中点H，连结HF、HG，则HF∥BC，HG∥AE，从而平面GHF∥平面AED，由此能证明FG∥平面ADE．
（Ⅱ）以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取BE中点H，连结HF、HG，
∵F，G分别为CE，AB的中点，
∴HF∥BC，HG∥AE，
∵GH∩HF=H，AE∩DE=E，GH、HF?平面GHF，AE、DE?平面AED，
∴平面GHF∥平面AED，
∵FG?平面GHF，∴FG∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，∠ABC=120°，AB=BC=2，
∴以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{3}$，-1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，2），
设平面CAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
 则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角B-AC-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．