Question

11．已知a＞0，若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}4a•lnx-{x^2}，x＞0\\{x^3}-3{a^2}x-4，x≤0\end{array}\right.$且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1]
• B． （1，2]
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．

解答 解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=-2a根的个数，
即函数y=f（x）的图象与直线y=-2a交点的个数，利用特殊值验证法：
当a=1时，y=f（x）的图象如图：

满足题意；
当a=2时，y=f（x）的图象如图：

满足题意．
结合选项可知，a的范围是D．
故选：D．

点评 本题考查函数零点存在性定理，考查了数形结合的解题思想方法，训练了特值验证法，是中档题．