Question

19．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁，CD的中点．
（Ⅰ）求证：D₁F⊥平面ADE；（Ⅱ）求平面A₁C₁D与平面ADE所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF₁⊥平面ADE．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量和平面A₁C₁D的法向量，利用向量法能求出平面A₁C₁D与平面ADE所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁，CD的中点．
∴如图：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A（2，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，2），F（0，1，0），E（2，2，1），
$\overrightarrow{{D_1}F}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DE}$=（2，2，1），
∵$\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{DA}$=0，$\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{DE}$=0，
∴D₁F⊥DA，D₁F⊥DE，
又DA∩DE=D，∴D₁F⊥平面ADE．…（6分）
解：（Ⅱ）由（1）可知平面ADE的法向量$\overrightarrow n=\overrightarrow{{D_1}F}=（0，1，-2）$  …（7分）
设平面A₁C₁D的法向量为$\vec m=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
则$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{m}=0$，即$\left\{\begin{array}{l}2x+2z=0\\ 2y+2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=-1，得$\overrightarrow m=（{1，1，-1}）$…（9分）
∴$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$   …（11分）
∴平面A₁C₁D与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．