Question

12．已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球．顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心．当四棱锥P-ABCD的体积最大时，四棱锥的高为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用射影定理，确定正方形的边长与四棱锥的高的关系，表示出四棱锥的体积，利用基本不等式求出四棱锥P-ABCD的体积最大．

解答 解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a²=h（2-h），
四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}•{4a}^{2}h$=$\frac{1}{3}•h•h•（4-2h）$≤$\frac{1}{3}$•$（\frac{h+h+4-2h}{3}）^{3}$=$\frac{64}{81}$，
当且仅当h=4-2h，即h=$\frac{4}{3}$时四棱锥P-ABCD的体积最大，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的体积最大值，考查基本不等式的运用，确定正方形的边长与四棱锥的高的关系是关键．