Question

7．已知函数$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈R）$．
（1）求f（x）的极值；
（2）求证：$\frac{ln2}{6}+\frac{ln2•ln3}{24}+…+\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}＜\frac{n-1}{2n+2}，n≥2$且n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的定区间，从而求出函数的极值即可；
（2）根据（1）取a=1，得到lnx≤x-1，令x=n，得到$\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{n+1}$，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1-（lnx+a）}{x^2}$，令f'（x）=0，解得：x=e^1-a，
当f'（x）＞0时，x＜e^1-a，f（x）在（0，e^1-a）是增函数，
当f'（x）＜0时，x＞e^1-a，f（x）在（e^1-a，+∞）是减函数，
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1，无极小值．
（2）证明：由（1）$f（x）=\frac{lnx+a}{x}$≤e^a-1，
取a=1，∴lnx≤x-1，当x=1时取等号，
令x=n，∵n≥2，故$\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{n+1}$
∴$\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}=\frac{1}{2}•\frac{ln2}{3}•\frac{ln3}{4}…\frac{lnn}{n+1}＜\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}•\frac{4}{6}…\frac{n-2}{n}•\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
故$\frac{ln2}{6}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{ln2•ln3}{24}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…；
$\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴$\frac{ln2}{6}+\frac{ln2•ln3}{24}+…+\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}＜\frac{n-1}{2n+2}，n≥2$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，转化思想，是一道综合题．