Question

2．四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD的边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若BF∥平面PCD，△PAD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的性质定理证明平面PAD⊥平面ABCD即可证明CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）根据点到平面的距离的定义作出点F到平面的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，BD=$\sqrt{3}$，
∴cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则∠ADB=30°，
∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD
（Ⅱ） 在平面ABCD内过B作BG∥CD，交AD于G，BG?平面PCD，CD?平面PCD，
则BG∥平面PCD，
由（1）得CD⊥AD，∴BG⊥AD，
连接GF，
∵BF∥平面PCD，BF，BG?平面FBG，BF∩BG=B，
∴平面FBG∥平面PCD，
∵平面PAD分别交平面FBG，PCD于FG，PD，
∴FG∥PD，
∴$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$，
则直角三角形BGD中，BD=$\sqrt{3}$，∠BDG=30°，
DG=BDcos30°=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
在平面PAD内过F作FH⊥PD于H，
∵CD⊥平面PAD，面FHC?面PAD，
∴CD⊥FH，
∵PD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴FH⊥平面PCD于H，
则FH是点F到平面PCD的距离．
过A作AM⊥PD于M，
∵△PAD是边长为2的等边三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$，
∵FH∥AM，∴$\frac{FH}{AM}$=$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$=$\frac{3}{4}$，
∴FH=$\frac{3}{4}$AM=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
即点F到平面PCD的距离是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查考查空间直线和平面垂直的判断以及点到直线的距离的计算，根据相应的判定定理和性质定理以及点到平面的距离的定义是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．