Question

4．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．
（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；
（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？

	成绩小于60分人数	成绩不小于60分人数	合计
高一年级
高二年级
合计

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
临界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）初中年级成绩在[70，80）之间的学生共有0.015×10×40=6人，恰有4名女同学，2名男同学，利用对立事件的概率公式，即可求其中至少有1名男同学的概率；
（2）根据列联表中的数据，计算K²的值，即可得到结论．

解答 解：（1）初中年级成绩在[70，80）之间的学生共有0.015×10×40=6人，恰有4名女同学，2名男同学，
现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，有C₆²=15种情况，全是女生有C₄²=6种情况
∴其中至少有1名男同学的概率为1-$\frac{6}{15}$=$\frac{3}{5}$；
（2）2×2列联表

	成绩小于60分人数	成绩不小于60分人数	合计
高中年级	20	20	40
初中年级	28	12	40
合计	48	32	80

${K^2}=\frac{{80×{{（20×12-28×20）}^2}}}{40×40×48×32}=\frac{10}{3}$
由$\frac{10}{3}＞2.076$，知只有90%的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异”，没有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”．

点评 本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于基础题．