Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，BE=$\frac{1}{2}$EC，AD=2DC，AE=$\sqrt{2}$．
（1）证明：DE⊥平面PAE；
（2）求二面角A-PE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设B（t，0，0），求出E的坐标，由AE=$\sqrt{2}$，解得t=$\frac{3}{2}$，由此能证明DE⊥平面PAE．
（2）求出平面PAE的法向量和平面PEB的法向量，利用向量法能求出二面角A-PE-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AC=3，BE=$\frac{1}{2}$EC，AD=2DC，AE=$\sqrt{2}$，
∴D（0，2，0），设B（t，0，0），则C（0，3，0），
$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=（-\frac{t}{3}，1，0）$，∴E（$\frac{2t}{3}$，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2t}{3}$，1，0），
∴AE=$\sqrt{\frac{4{t}^{2}}{9}+1}$=$\sqrt{2}$，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{3}{2}$，0，0），E（1，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AE}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AE}$=0，
∴DE⊥AP，DE⊥AE，
又AP∩AE=A，∴DE⊥平面PAE．
解：（2）$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}$，0，3），$\overrightarrow{BE}=（-\frac{1}{2}，1，0）$，
设平面PAE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面PEB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\frac{3}{2}a+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，1），
设二面角A-PE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴二面角A-PE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．