Question

10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 3π
• D． 3

Answer 1

分析 该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．

解答 解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．
其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．
设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×1²=（2r）²，解得r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴该几何体外接球的体积=$\frac{4}{3}×π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三视图的有关计算、四棱锥与正方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．