Question

已知实数x，y满足（x-2）²+（y-1）²=1，则z=

y+1

x

的最大值与最小值分别为

4+ 7

3

和

4- 7

3

．

Answer 1

分析：z=

y+1

x

的几何意义是（x，y）与（0，-1）连线的斜率，设过（0，-1）的直线，z=

y+1

x

的最大值与最小值，当且仅当直线与圆相切时取得．

解答：解：z=

y+1

x

的几何意义是（x，y）与（0，-1）连线的斜率，
设过（0，-1）的直线为y=kx-1，即kx-y-1=0，z=

y+1

x

的最大值与最小值，当且仅当直线与圆相切时取得．
圆心（2，1）到直线的距离为d=

|2k-2|

k2+1

=1，∴k=

4± 7

3

∴z=

y+1

x

的最大值与最小值分别为

4+ 7

3

、

4- 7

3

故答案为：

4+ 7

3

、

4- 7

3

点评：本题考查斜率的意义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．