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(本小题13分)已知函数f(x)= (a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)若f(x)在[,2]上的值域是[,2],求a的值.
(1)证明:见解析;(2) a=
本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。
(1)先分析函数的定义域内任意两个变量,代入函数解析式中作差,然后变形定号,下结论。
(2)∵f(x)在[,2]上的值域是[,2],那么可知又f(x)在[,2]上单调递增,可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。
解:(1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0.
∵f(x2)-f(x1)=()-()=
>0,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.………………6分
(2)∵f(x)在[,2]上的值域是[,2],
又f(x)在[,2]上单调递增,∴f()=,f(2)=2,
易得a=.                      ………………13分
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