Question

【题目】已知数列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m为常数）
（1）当c=1，m=1时，求数列{an}的通项公式an；
（2）当c=2，m=﹣1时，证明：数列{an﹣1}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，记bn= ，Sn=b1+b2+…+bn ， 证明：Sn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：当c=1，m=1时，数列{an}中，a1=3，an+1=an+1，

∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，

∴an=3+（n﹣1）×1=n+2

（2）解：证明：当c=2，m=﹣1时，数列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1，

∴an+1﹣1=2（an﹣1），

又a1﹣1=3﹣1=2，

∴数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列

（3）解：∵数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列，

∴ ，∴an=2n+1，

∴bn= = ，

∴Sn=b1+b2+…+bn=

= =1﹣ ＜1．

∴Sn＜1

【解析】（1）当c=1，m=1时，数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，由此能求出an的表达式．（2）当c=2，m=﹣1时，an+1=2an﹣1，从而an+1﹣1=2（an﹣1），由此能证明数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列．（3）推导出an=2n+1，从而bn= = ，由此能证明Sn＜1．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．