【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率为,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线: 交椭圆于两点, 是椭圆上一点,直线的斜率为,且, 是线段延长线上一点,且, 的半径为, 是的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.
【答案】(1) (2) 的最大值为 ,取得最大值时直线的斜率为 .
【解析】试题分析:(I)本小题由, 确定即得.
(Ⅱ)通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理,应用弦长公式确定及
圆的半径表达式.
进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立,确定得到的表达式,研究其取值范围.这个过程中,可考虑利用换元思想,应用二次函数的性质及基本不等式.
试题解析:(I)由题意知 , ,
所以 ,
因此 椭圆的方程为.
(Ⅱ)设,
联立方程
得,
由题意知,
且,
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知,
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得,
因此 .
由题意可知 ,
而
,
令,
则,
因此 ,
当且仅当,即时等号成立,此时,
所以 ,
因此,
所以 最大值为.
综上所述: 的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.
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【题目】某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分,某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道能排除两个错误选项,另2题只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答,且各题做答互不影响.
(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率;
(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.
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【题目】对于函数f(x)的定义域中任意的x1、x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);
②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);
③ >0;
④f( )< .
当f(x)=2x时,上述结论中正确的有( )个.
A.3
B.2
C.1
D.0
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【题目】某校在高二年级开展了体育分项教学活动,将体育课分为大球(包括篮球、排球、足球)、小球(包括乒乓球、羽毛球)、田径、体操四大项(以下简称四大项,并且按照这个顺序).为体现公平,学校规定时间让学生在电脑上选课,据初步统计,在全年级980名同学中,有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1,而实际上由于受多方面条件影响,最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1,选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类.
(Ⅰ)随机抽取一名同学,求该同学选课成功(未被调剂)的概率;
(Ⅱ)某小组有五名同学,有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1,记最终确定到田径类的人数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
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【题目】已知数列{an}中,a1=3,an+1=can+m(c,m为常数)
(1)当c=1,m=1时,求数列{an}的通项公式an;
(2)当c=2,m=﹣1时,证明:数列{an﹣1}为等比数列;
(3)在(2)的条件下,记bn= ,Sn=b1+b2+…+bn , 证明:Sn<1.
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【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
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【题目】2016年10月,继微信支付对提现转账收费后,支付宝也开始对提现转账收费,随着这两大目前用户使用粘度最高的第三方支付开始收费,业内人士分析,部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系,某调查机构对此进行调查,并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人,把这200人分为3类:认为使用支付宝方便,仍使用支付宝提现转账的用户称为“类用户”;根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“类用户”;提前将支付宝账户内的资金全部提现,以后转账全部通过银行的用户称为“类用户”,各类用户的人数如图所示:
同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组,制成如图所示的列联表:
类用户 | 非类用户 | 合计 | |
青年 | 20 | ||
中老年 | 40 | ||
合计 | 200 |
(Ⅰ)完成列联表并判断是否有99.5%的把握认为“类用户与年龄有关”;
(Ⅱ)从这200人中按类用户、类用户、类用户进行分层抽样,从中抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,求在这4人中类用户、类用户、类用户均存在的概率;
(Ⅲ)把频率作为概率,从支付宝所有用户(人数很多)中随机抽取3人,用表示所选3人中类用户的人数,求的分布列与期望.
附:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
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