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(2012•武昌区模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=
2
AD,E是线段PD上的点,F是线段AB上的点,且
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ>0)

(Ⅰ)当λ=1时,证明DF⊥平面PAC;
(Ⅱ)是否存在实数λ,使异面直线EF与CD所成的角为60°?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,证明
DF
AC
=0
DF
AP
=0
,即可证得DF⊥平面PAC;
(Ⅱ)设PA=AD=1,则AB=PD=
2
,确定
FE
=(-
2
1+λ
λ
1+λ
1
1+λ
)
CD
=(-
2
,0,0)
,利用向量的夹角公式,及异面直线EF与CD所成的角为60°,建立方程即可得到结论.
解答:(Ⅰ)证明:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
当λ=1时,则F为AB的中点,设PA=AD=1,则AB=PD=
2
,则
A(0,0,0),C(
2
,1,0),P(0,0,1),D(0,1,0),F(
2
2
,0,0
).
DF
=(
2
2
,-1,0)
AC
=(
2
,1,0)
AP
=(0,0,1).
DF
AC
=0
DF
AP
=0

DF
AC
DF
AP

∵AC∩AP=A
∴DF⊥平面PAC;
(Ⅱ)解:设PA=AD=1,则AB=PD=
2
,则A(0,0,0),C(
2
,1,0),P(0,0,1),D(0,1,0),.
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ>0)

∴F(
2
λ+1
,0,0),E(0,
λ
1+λ
1
1+λ
).
FE
=(-
2
1+λ
λ
1+λ
1
1+λ
)
CD
=(-
2
,0,0)
,∴
FE
CD
=
2
1+λ

依题意,有
1
2
=cos<
FE
CD
>=
FE
CD
|
FE
||
CD
|

∵λ>0,∴
1
2
=
2
λ2+3
,∴λ=
5

∴存在实数λ=
5
,使异面直线EF与CD所成的角为60°.
点评:本题考查线面垂直,考查线线角,考查利用空间向量解决立体几何问题,关键是建立坐标系,用坐标表示点与向量.
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2
5
2
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n
2k
 
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2k
 
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1
2k-1
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1
2k-1
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(结果用k表示).

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满意 一般 不满意
A部门 50% 25% 25%
B部门 80% 0 20%
C部门 50% 50% 0
D部门 40% 20% 40%
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