Question

（2012•武昌区模拟）设fk(x)=si

n

2k

x+co

s

2k

x(x∈R)，利用三角变换，估计f_k（x）在k=l，2，3时的取值情况，对k∈N^*时推测f_k（x）的取值范围是

1

2k-1

≤fk(x) ≤1

（结果用k表示）．

Answer 1

分析：可求得k=l，2，3时f_k（x）的取值范围，利用归纳法可求得k∈N*时f_k（x）的取值范围．

解答：解：k=1，f₁（x）=sin²x+cos²x=1，
k=2，f₂（x）=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²x•cos²x
=（1-

1

2

sin²2x）∈[

1

2

，1]，
k=3，f₃（x）=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（（sin²x+cos²x）²-3sin²x•cos²x）
=（1-

3

4

sin²2x）∈[

1

4

，1]，
…
∴k∈N^*时f_k（x）的取值范围是

1

2k-1

≤f_k（x）≤1．
故答案为：

1

2k-1

≤f_k（x）≤1．

点评：本题考查三角函数的最值，考查二倍角公式的应用，考查综合分析与应用的能力，属于难题．