Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在定义域内不单调，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；

（3）若且，求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)对函数求导有，则原问题等价于方程有大于零的实根，结合二次方程根的分布理论可得；

(2)原问题等价于在区间内恒成立，结合均值不等式的结论可得；

(3)当时，不等式显然成立，当，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）的定义域为

因为在定义域内不单调，所以方程有大于零的实根，

函数的图像经过点，

，

（2）函数在区间内单调递增，

在区间内恒成立，即在区间内恒成立

在时取得最小值，

（3）当时，不等式显然成立，

当，只需证明，令，则只需证明成立，由（2）可知在上是增函数，