【题目】已知函数.
(1)求的最小值;
(2)求证:x>0时, .
【答案】(1) 当x=ln2时,f(x)有极小值也是最小值为f(ln2)=2(2﹣ln2);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)对函数求导,列出表格得到导函数在定义域内的正负情况,从而得到函数的最值。(2)构造函数设(x>0),研究这个函数的单调性,找到函数的最值,使得函数的最小值大于0即可.
解析:
(1)由f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).得f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)=ex﹣2=0得,x=ln2,
列表如下
x | ln2 | (ln2,+∞) | |
- | 0 | + | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
故当x=ln2时,f(x)有极小值也是最小值为f(ln2)=2(2﹣ln2);
(2)证明:设(x>0),则g′(x)=ex﹣2x+2,
由(1)知g′(x)=ex﹣2x+2有最小值g′(ln2)=2(2﹣ln2),
于是对于x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上递增,
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即x>0时,ex>x2﹣2x+1.
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【题目】已知函数有极值,且导函数
的极值点是
的零点.
(1)求关于
的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:;
(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于
,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设 ,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
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【题目】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为(单位:m2)( )
A. (11+4)π B. (12+4
)π C. (13+4
)π D. (14+4
)π
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【题目】若函数对定义域D内的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使得
成立,则称f (x)为“自倒函数”.给出下列命题:
①是自倒函数;
②自倒函数f (x)可以是奇函数;
③自倒函数f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函数,且定义域相同,则
也是自倒函数.
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号).
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【题目】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第1件首饰是1颗珠宝,第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形,第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形,第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形,第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件的基础上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断:
(1)第6件首饰上应有________颗珠宝;
(2)前n(n∈N*)件首饰所用珠宝总颗数为________.(结果用n表示)
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【题目】已知抛物线C:y2=4x和直线l:x=-1.
(1)若曲线C上存在一点Q,它到l的距离与到坐标原点O的距离相等,求Q点的坐标;
(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线,切点记为A,B,求证:直线AB过定点.
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