Question

【题目】在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：

(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；

(2)前n(n∈N*)件首饰所用珠宝总颗数为________．(结果用n表示)

Answer 1

【答案】 66

【解析】(1)设第n件首饰上的珠宝颗数为an，则a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，

∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，

a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，

∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3，

∴推断a6＝a5＋4×5＋1＝66.

(2)由(1)知an－an－1＝4n－3，

则an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3，

以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)

＝－3(n－1)

＝2n2－n－1，

∴an＝2n2－n，

则a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n)

＝2×

＝，

∴前n件首饰所用珠宝总颗数为，n∈N*.