Question

已知函数f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，当f（x）=ax时有两个实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据函数f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，求出y=

f(x)

x

的解析式；然后后把方程转化为两个函数y=a，和y=

f(x)

x

，画出它们的图象，利用数形结合即可求出a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，
∴y=

f(x)

x

=

1 x + 1 4 ，x≤1 lnx x ，x＞1

；
又∵函数y=

f(x)

x

=

lnx

x

，x＞1，
∴y′=

1-lnx

x2

，
令y′=0，得x=e，
当x≥e时，y′≤0，f（x）为减函数，
当1＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，
∴y的最大值为f（e）=e^-1=

1

e

；
画出函数y=a，y=

f(x)

x

的图象如下：
所以当f（x）=ax时有两个实数根，
可得a的取值范围为[

1

4

，

1

e

）．

点评：本题主要考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，属于中档题，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化．