Question

已知数列{a_n}满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（Ⅱ）令b_n=

2

3

（

1

an

+5），求数列{

bn

3n

}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，从而

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，由此能证明{

1

an

}是首项为

5

2

，公差为

3

2

的等差数列．
（Ⅱ）由

1

an

=

3n+2

2

，得an=

2

3n+2

，从而b_n=n+4，

bn

3n

=

n+4

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{

bn

3n

}前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

，
∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，
∴{

1

an

}是首项为

5

2

，公差为

3

2

的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{

1

an

}的通项公式为：

1

an

=

5

2

+(n-1)×

3

2

=

3n+2

2

，
∴an=

2

3n+2

，∴b_n=

2

3

（

1

an

+5）=n+4，

bn

3n

=

n+4

3n

，
∴T_n=

5

3

+

6

32

+

7

33

+…+

n+4

3n

，①

1

3

T_n=

5

32

+

6

33

+

7

34

+…+

n+4

3n+1

，②
①-②，

2

3

Tn=

5

3

+

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

-

n+4

3n+1

=

5

3

+

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+4

3n+1

=2-

n+7

3n+1

，
∴T_n=3-

n+7

2•3n

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．