Question

如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由题在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．
（2）利用导数求得cosα=

1

3

时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．

解答： 解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=

π

3

，∠CDA=α，∴∠ACD=

2π

3

-α．
又AB=BC=CA=10，△ACD中，
由正弦定理知

CD

sin π 3

=

AD

sin( 2π 3 -α)

=

10

sinα

，得CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

…（3分）
∴S=8AD+16BD+24CD=

120 3 -80sin( 2π 3 -α)

sinα

+160
=40

3

•

3-cosα

sinα

+120（

π

3

＜α＜

2π

3

）．…（7分）
（2）S′=40

3

×

1-3cosα

sin2α

，令S′=0，得cosα=

1

3

．…（10分）
当cosα＞

1

3

时，S′＜0；当cosα＜

1

3

时，S′＞0，∴当cosα=

1

3

时S取得最小值．…（12分）
此时，sinα=

2 2

3

，AD=

5 3 cosα+5sinα

sinα

=5+

5 6

4

，
∴中转站距A处5+

5 6

4

千米时，运输成本S最小．…（14分）

点评：本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．