Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=3时，不等式f（x）≥2?|2x-3|+|x-1|≥2，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得原不等式的解集；
（2）f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5?|2x-a|≥5-x，通过对x＞5与x≤5的讨论，结合题意，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=3时，由不等式f（x）≥2得：|2x-3|+|x-1|≥2，
∴当x＜1时，3-2x+1-x≥2，解得x≤

2

3

；
当1≤x≤

3

2

时，3-2x+x-1≥2，解得x≤0，与1≤x≤

3

2

的交集为∅；
当x≥

3

2

时，2x-3+x-1≥2，解得x≥2．
∴当a=3时，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤

2

3

或x≥2}；
（2）∵f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5，
∴|2x-a|≥5-x．
当x＞5时，5-x＜0，原不等式恒成立，∴a∈R；
当x≤5时，x-5≤a-2x≤5-x，即3x-5≤a≤x+5，
∵x+5≤10，
∴a≤10，又?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，
∴实数a的取值范围为（-∞，10]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．