Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4x²-12x，则当x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值是（　　）

• A、-3
• B、9
• C、-9
• D、-1

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=3f（x）得到f（x+4）与f（x）的关系，再设x∈[-4，-2]，则有4+x∈[0，2]，求得f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）+2=x²+6x+16，从而得到f（x）=x²+6x+16=（x+3）²+求解．

解答： 解：由f（x+2）=3f（x），
得f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），
即f（x）=

1

9

f（x+4），
设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=4x²-12x，
∴f（x+4）=4（x+4）²-12（x+4）=4x²+20x+16
∴f（x）=

1

9

f（x+4）=

1

9

（4x²+20x+16）=

4

9

（x+

5

2

）²-1，
∴当x=-

5

2

时，f（x）取得最小值-1，
故选：D

点评：本题主要考查用递推关系来求函数的解析式和求二次函数最值问题．根据条件求出f（x）的表达式是解决本题的关键．