Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是线段AB中点．
（1）证明：D₁E⊥CE；
（2）求二面角D₁-EC-D的大小的余弦值；
（3）求A点到平面CD₁E的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D₁DE即可证明：D₁E⊥CE；
（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D₁-EC-D的大小的余弦值；
（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD₁E的距离．

解答： 解：（1）证明：DD₁⊥面ABCD，CE?面ABCD
所以，DD₁⊥CE，
Rt△DAE中，AD=1，AE=1，
DE=

AD2+AE2

=

2

，
同理：CE=

2

，又CD=2，CD²=CE²+DE²，
DE⊥CE，
DE∩CE=E，
所以，CE⊥面D₁DE，
又D₁E?面D₁EC，
所以，D₁E⊥CE．
（2）设平面CD₁E的法向量为

m

=（x，y，z），
由（1）得

D1E

=（1，1，-1），

CE

=（1，-1，0）

m

•

D1E

=x+y-1=0，

m

•

CE

=x-y=0
解得：x=y=

1

2

，即

m

=（

1

2

，

1

2

，1）；
又平面CDE的法向量为

DD1

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

DD1

＞=

m • DD1

| m |•| DD1 |

=

1

1 4 + 1 4 +1 •1

=

6

3

，
所以，二面角D₁-EC-D的余弦值为

6

3

，
（3））由（1）（2）知

AE

=（0，1，0），平面CD₁E的法向量为

m

=（

1

2

，

1

2

，1）
故，A点到平面CD₁E的距离为d=

| m • AE |

| m |

=

1 2

6 2

=

6

6

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的性质，以及空间二面角和点到直线的距离的计算，利用向量法是解决本题的关键．