Question

设x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a²+

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4

）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

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4

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用函数导数与极值的关系即可得出a与b的关系，对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性；
（II）利用单调性分别求出函数f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e³，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域为[a2+

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4

，(a2+

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4

)e4]．由于(a2+

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4

)-(a+6)=(a-

1

2

)2≥0，可知：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

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4

成立，必需

a＞0 (a2+ 25 4 )-(a+6)＜ 25 4

，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax+b）e^3-x
∴f′（x）=（2x+a）e^3-x-（x²+ax+b）e^3-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由题意得：f′（3）=0，即3²+3（a-2）+b-a=0，b=-2a-3，
∴f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x且f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0得x₁=3，x₂=-a-1．
∵x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一个极值点
∴x₁≠x₂，即a≠-4
故a与b的关系式b=-2a-3，（a≠-4）．
（1）当a＜-4时，x₂=-a-1＞3，由f′（x）＞0得单增区间为：（3，-a-1）；
由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，3），（-a-1，+∞）；
（2）当a＞-4时，x₂=-a-1＜3，由f′（x）＞0得单增区间为：（-a-1，3）；
由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，-a-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a＞0时，x₂=-a-1＜0，f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴f(x)min=min{f(0)，f(4)}=-2(a+3)e3，f（x）_max=f（3）=a+6．
∴f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e³，a+6]．
又g（x）=（a²+

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4

）e^x，在x∈[0，4]上单调递增，
∴g（x）在x∈[0，4]上的值域为[a2+

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4

，(a2+

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4

)e4]．
由于(a2+

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4

)-(a+6)=(a-

1

2

)2≥0，
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

25

4

成立，
必需

a＞0 (a2+ 25 4 )-(a+6)＜ 25 4

，解得0＜a＜3．
∴a的取值范围是（0，3）．

点评：本题考查了利用函数导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于难题．