Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AB=1，AA₁=2，线段B₁D₁上有两个点E，F．
（1）证明：AC⊥B₁D₁；
（2）证明：EF∥平面ABCD；
（3）若E，F是线段B₁D₁上的点，且EF=

1

2

，求三棱锥A-BEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AC⊥平面BDD₁B₁，即可证明AC⊥B₁D₁；
（2）根据平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，即可证明EF∥平面ABCD；
（3）证明AO⊥平面BEF，即可求三棱锥A-BEF的体积．

解答： （1）证明：在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接BD，
因为底面ABCD是正方形
所以AC⊥BD…（1分）
又DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD₁⊥AC…（3分）
又BD∩DD₁=D，
所以AC⊥平面BDD₁B₁，
又B₁D₁?平面BDD₁B₁，
所以AC⊥B₁D₁；…（5分）
（2）证明：在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
因为EF?平面A₁B₁C₁D₁，
所以EF∥平面ABCD；…（10分）
（3）解：设AC与BD交于点O，由（1）可知AO⊥平面BDD₁B₁，
即AO⊥平面BEF
所以AO是三棱锥A-BEF的高，且AO=

1

2

AC=

2

2

…（12分）
所以V_A-BEF=

1

3

×

2

2

×

1

2

×

1

2

×2=

2

12

…（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．