Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）直线l₁过点P（2，0），被圆C截得的弦长为4

2

，求直线l₁的方程；
（2）直线l₂的斜率为1，且l₂被圆C截得弦AB，若以AB为直径的圆过原点，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）确定圆心坐标与半径，分类讨论，利用直线l₁圆C截得的弦长为4

2

，即可求直线l₁的方程；
（2）设直线l₂的方程为y=x+b，代入圆C的方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过原点，即可求直线l₂的方程

解答：解：圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，圆心为（1，-2），半径为3，
（1）因直线l₁过点P（2，0），
①当直线斜率不存在时，直线l₁：x=2，圆心到直线的距离为1
∴直线l₁被圆C截得的弦长为2

9-1

=4

2

，
∴直线l₁：x=2满足题意；
②当直线斜率存在时，可设l₁方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0
由直线l₁被圆C截得的弦长为4

2

，则圆心C到l₁的距离为

9-(2 2 )2

=1
∴

|k+2-2k|

1+k2

=1，∴k=

3

4

∴l₁方程为y=

3

4

（x-2），即3x-4y-6=0；
由上可知l₁方程为：x=2或3x-4y-6=0 …（8分）
（2）设直线l₂的方程为y=x+b，代入圆C的方程，整理可得2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0（*）
∵以AB为直径的圆过原点O，∴OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，…（10分）
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
由（*）式得x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=

b2+4b-4

2

∴b²+4b-4+b（-b-1）+b²=0，即b²+3b-4=0，
∴b=-4或b=1…（14分）
将b=-4或b=1代入（*）方程，对应的△＞0．
故直线l₂：x-y-4=0或x-y+1=0． …（16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．