Question

已知点是F抛物线C 1：x2=4y与椭圆C 2：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的公共焦点，且椭圆的离心率为

1

2

（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线l，切点P在第一象限，如图，设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA，FB的斜率分别为k，k₁，k₂（其中O为坐标原点），若k 1+k2=

20

3

k，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆的离心率为

1

2

，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设出切线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵点F的坐标为（0，1），则有

a2-b2=1 a2-b2 a = 1 2

∴a=2，b=

3

∴椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）设P（2t，t²），由y2=

x

2

，得切线的斜率为t，从而切线l的方程为y=tx-t²，
直线l与椭圆方程联立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6t3

3t2+4

，x₁x₂=

3t4-12

3t2+4

∴k₁+k₂=

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=2t-

2t3(t2+1)

t4-4

∵k=

t2

2t

=

t

2

∴2t-

2t3(t2+1)

t4-4

=

10t

3

∵t＞0，∴5t⁴+3t²-8=0
∴t²=1
∴t=1
∴P的坐标为（2，1）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．