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已知点是F抛物线C与椭圆C的公共焦点,且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)过抛物线上一点P,作抛物线的切线l,切点P在第一象限,如图,设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B,记直线OP,FA,FB的斜率分别为k,k1,k2(其中O为坐标原点),若k,求点P的坐标.

【答案】分析:(1)利用抛物线与椭圆有公共焦点,且椭圆的离心率为,建立方程组,求出几何量,即可求椭圆的方程;
(2)设出切线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理及斜率公式,即可求得结论.
解答:解:(1)∵点F的坐标为(0,1),则有
∴a=2,b=
∴椭圆方程为
(2)设P(2t,t2),由,得切线的斜率为t,从而切线l的方程为y=tx-t2
直线l与椭圆方程联立,得(3t2+4)x2-6t3x+3t4-12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
∴k1+k2=+=
=

∵t>0,∴5t4+3t2-8=0
∴t2=1
∴t=1
∴P的坐标为(2,1).
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点是F抛物线C 1x2=4y与椭圆C 2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的公共焦点,且椭圆的离心率为
1
2

(1)求椭圆的方程;
(2)过抛物线上一点P,作抛物线的切线l,切点P在第一象限,如图,设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B,记直线OP,FA,FB的斜率分别为k,k1,k2(其中O为坐标原点),若k 1+k2=
20
3
k
,求点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省广州市海珠区高三(上)数学综合测试1(理科)(解析版) 题型:解答题

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x,y)(x≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

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