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    设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．
    （1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
    （2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
    分析：（1）设出F，Q，R的坐标，求出|QR|，利用△QRS的面积为4，可求p的值；
    （2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用kAM=-kAN，确定斜率，从而可得结论．
    解答：（1）解：由题设F(0，
    p
    2
    )    ，设Q(x1，
    p
    2
    )    ，则R(-x1，
    p
    2
    )    …（1分）
    |QR|=
    		(x1-(-x1))2+(
    p
    2
    -
    p
    2
    )    2
    =2
    		x12
    =2
    		2p×
    p
    2
    =2p    ．…（2分）
    ∴由△QRS的面积为4，得：
    1
    2
    ×2p×p=4    ，得：p=2．…（4分）
    （2）证明：由题意A1（-x0，y0）…（5分）
    首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
    解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0…（6分）
    联立
    y=k(x+x0)+y0
    x2=2py
    ，消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0
    将2py0=x02代入上式得：x2-2pkx-2px0k-x02=0…（7分）
    △=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…（8分）
    即p2k2+2px0k+x02=0，即(pk+x0)2=0，得k=-
    x0
    p
    ．
    即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为-
    x0
    p
    ．…（9分）
    解法二：由x2=2py得y=
    1
    2p
    x2    ，…（6分）
    ∴y′=
    x
    p
    …（7分）
    ∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1（-x0，y0）处的切线的斜率为-
    x0
    p
    ．…（9分）
    再求直线MN的斜率．
    解法一：设直线AM的斜率为k1，则由题意直线AN的斜率为-k1．…（10分）
    直线AM的方程为y-y0=k1（x-x0），则直线AN的方程为y-y0=-k1（x-x0）．
    联立
    x2=2py
    y=k1(x-x0)+y0
    ，消去y得x2-2pk1x+2pk1x0-x02=0…（1）…（11分）
    ∵方程（1）有两个根x0，x1，∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)＞0
    ∴x0，1=
    2pk1±
    		△
    2
    ，x0+x1=2pk1，即x1=2pk1-x0，同理可得x2=-2pk1-x0…（12分）
    直线MN的斜率kMN=
    y2-y1
    x2-x1
    =
    x22
    2p
    -
    x12
    2p
    x2-x1
    =
    x1+x2
    2p
    =
    -2x0
    2p
    =-
    x0
    p
    ．…（13分）
    ∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
    解法二：∵kAM=-kAN…（10分）
    ∴
    y0-y1
    x0-x1
    =-
    y0-y2
    x0-x2
    …（11分）
    将y0=
    x02
    2p
    ，y1=
    x12
    2p
    ，y2=
    x22
    2p
    分别代入上式得：
    x02
    2p
    -
    x12
    2p
    x0-x1
    =-
    x02
    2p
    -
    x22
    2p
    x0-x2
    ，
    整理得2x0=x1+x2．…（12分）
    ∴直线MN的
    斜率kMN=
    y2-y1
    x2-x1
    =
    x22
    2p
    -
    x12
    2p
    x2-x1
    =
    x1+x2
    2p
    =
    -2x0
    2p
    =-
    x0
    p
    ．…（13分）
    ∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
    点评：本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•黑龙江）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
    （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4
    		2
    ；求p的值及圆F的方程；
    （2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设抛物线C：x2=2py（p＞0），F为焦点，抛物线C上一点P（m，3）到焦点的距离是4，抛物线C的准线l与y轴的交点为H
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME、MF分别交抛物线C于点A、B，若A、B、H三点共线，求点M的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l1与l2，使l1⊥l2，若对任意的点P，总存在这样的直线l1与l2，使l1，l2与抛物线均有公共点，求t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省广州市海珠区高三（上）数学综合测试1（理科）（解析版） 题型：解答题

    设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x，y）（x≠0）是抛物线C上的一定点．
    （1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
    （2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．

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