Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，抛物线C上一点P（m，3）到焦点的距离是4，抛物线C的准线l与y轴的交点为H
（1）求抛物线C的方程；
（2）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME、MF分别交抛物线C于点A、B，若A、B、H三点共线，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的定义，结合P到焦点的距离为4建立关于p的方程，解出p=2即得抛物线C方程；
（2）设M（t，

t2

4

），由点斜式可写出直线MF、ME的方程，分别与抛物线方程联立可解出点B、点A的坐标，根据A、B、H三点共线，得k_AH=k_BH，由此可解出t值；

解答：解：（1）由题意得抛物线C的准线l方程为：y=-

p

2

，
因为抛物线C上的点P（m，3）到焦点的距离是4，得3-（-

p

2

）=4，解得P=2
所以抛物线方程为：x²=4y．
（2）设M（t，

t2

4

），又直线过点F（0，1），则直线MF方程为y-1=

t2-4

4t

x，
过点E（0，4）直线ME方程为y-4=

t2-16

4t

x，
由

y-1= t2-4 4t x x2=4y

，得B（-

4

t

，

4

t2

），
由

y-4= t2-16 4t x x2=4y

，得A（-

16

t

，

64

t2

），
则k_AH=

64 t2 +1

- 16 t

=

64+t2

-16t

，k_BH=

- 4 t2 +1

- 4 t

=

4+t2

-4t

，
∵A、B、H三点共线，∴k_AH=k_BH，即

64+t2

-16t

=

4+t2

-4t

解得t=±4，
∴M点的坐标为（±4，4）．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于难题．