Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l₁与l₂，使l₁⊥l₂，若对任意的点P，总存在这样的直线l₁与l₂，使l₁，l₂与抛物线均有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，结合|AB|=2，即可求得抛物线的方程；
（2）由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x²=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将直线PD的方程代入抛物线方程，得到△≥0，即可求t的取值范围．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

由题意知，抛物线的焦点F为（0，

p

2

），则直线AB的方程为y-

p

2

=1×(x-0)，即为y=x+

p

2

，
联立抛物线方程得到

y=x+ p 2 x2=2py(p＞0)

整理得x²-2px-p²=0（p＞0），则

x1+x2=2p x1•x2=-p2

故|AB|=

1+k2

•

(2p)2-4•(-p2)

=

2

•2

2

p=4p=2，解得p=

1

2

故抛物线C的方程为：x²=y；
（2）由（1）知抛物线C的方程为：x²=y，如图示，设C（xC，xC2），P（0，t），
由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x²=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将抛物线的方程改写为y=x²，求导得y ′=2x
所以过点C的切线PC的斜率是2xC=

xC2-t

xC

，即xC2=-t
由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为-

1

2xC

则直线PD的方程为：y-t=-

1

2xC

x，即是y=-

1

2xC

x+t
联立抛物线的方程y=x²得到x2+

1

2xC

x-t=0
由于PD与该抛物线有交点，则△=(

1

2xC

)2+4t≥0，即

1

-4t

+4t≥0（t＜0）
解得 -

1

4

≤t＜0，则t的取值范围为{t|-

1

4

≤t＜0}．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．