Question

定义：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=F(x，

x

a

)（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的单调区间；
（2）若f(x)＜-

1

2

恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）记f′（x）为f（x）的导数，当a=1时，对任意的n∈N^*，在区间[1，f′（n）]上总存在k个正数a₁，a₂，a₃，…，a₄，使

k

i=1

f′(ai)≥2010成立，试求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的单调区间，可用导数法，先得到 f（x）的表达式，对其求导，令导数大于0求出增区间，进而得出减区间，由于未知数的系数带着字母，故应对其符号进行讨论，本题得分成两类求单调区间．
（2）f(x)＜-

1

2

恒成立，试求实数a的取值范围，此题先求出函数f（x）的最大值，令其小于-

1

2

解不等式即可求出实数a的取值范围，由（1）知，a＞0时，f（x）增区间为（0，+∞）；故此时不可能恒小于-

1

2

，当求出a＜0时的最大值令其小于-

1

2

即可解出，数a的取值范围．
（3）当a=1时，f（x）=x²+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，先研究f′(x)=2x+

1

x

的单调性知其在N^*上是增函数，故在区间[1，f′（n）]是增函数，欲求k的最小值，求出∈[1，f'（1）]时多少个k个正数的和大于2010即可．

解答：解：（1）f(x)=

1

a

x2+lnx (x＞0)，则f′(x)=

2

a

x+

1

x

=

2x2+a

ax

①a＞0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上递增
②当a＜0时，令f'（x）=0，则x=

-2a

2

，（3分）
x∈(0，

-2a

2

)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈(

-2a

2

，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．
综上，a＞0时，f（x）增区间为（0，+∞）；
a＜0时，f（x）增区间为(0，

-2a

2

)，减区间为(

-2a

2

，+∞)．（5分）
（2）由（1）知a＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，
且x=1时，f(1)=

1

a

＞0，则f(1)＞-

1

2

，∴f(x)＜-

1

2

不恒成立，故a＜0．（7分）
又f（x）的极大值即f（x）最大值f(

-2a

2

)=

1

a

(

-2a

2

)2+ln

-2a

2

∵f(x)＜-

1

2

恒成立，
只须[f(x)]max＜-

1

2

∴ln

-2a

2

＜0，即0＜

-2a

2

＜1∴-2＜a＜0（9分）
（3）当a=1时，f（x）=x²+lnx，f′(x)=2x+

1

x

令g（x）=f'（x），则g′(x)=2-

1

x2

（11分）
当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0
∴f′(x)=2x+

1

x

在[1，+∞）上是增函数
当n∈N^*时，f′(n)=2n+

1

n

＞2

2

∴f'（x）在[1，f'（n）]上是增函数（13分）
当n=1时，f'（1）=3∴当a_i∈[1，f'（1）]，i=1，2，3，…，k时，
f′(ai)≤f′(f′(1))=f′(3)=

19

3

则为使得k最小，需f′(ai)=

19

3

，i=1，2，3，…，k
则

19

3

k≥2010，又k∈N^*，所以k_min=318，
当n＞1时，f'（n）＞f'（1），∴当a_i∈[1，f'（n）]，i=1，2，3，…，k时，
f′(ai)≤f′(f′(n))=f′(2n+

1

n

)则为使得k最小，
需f′(ai)=f′(2n+

1

n

)，i=1，2，3，…，k
则f′(2n+

1

n

)×k≥2010，又f′(2n+

1

n

)＞f′(3)=

19

3

又k∈N^*，所以k_min＜318
当k＜318时，对n=1时，不存在k个正数，使得

k

i=1

f′(ai)≥2010，所以，k_min=318（16分）

点评：本题考查函数性质的综合运用，是一个对逻辑推理能力要求较高的题目，尤其是第三问，需要正确分析、判断、转化．