Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）当a=$\frac{2}{3}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=（x²-2x）e^x，如果对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数直接求单调区间；
（2）若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）_max＜g（x）_max．分别求出最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，…（2分）
所以a=$\frac{2}{3}$时，f′（x）=$\frac{（2x-3）（x-2）}{3x}$，
其单调递增区间为（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞），单调递减区间为（$\frac{3}{2}，2））$．   …（5分）
（2）若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）_max＜g（x）_max．
由g′（x）=（x²-2）e^x可知，当x∈（0，2]时，g（x）在区间（0，$\sqrt{2}$）上单调递减，在区间（$\sqrt{2}$，2]上单调递增，
g（0）=g（2）=0，故g（x）_max=0，…（7分）
所以只需f（x）_max＜0．
对函数f（x）来说，f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$
当a≤0时，由x∈（0，2]，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0，故ln2-1＜a≤0
当0＜a≤2时，$\frac{1}{a}≥2$，由x∈（0，2），ax-1≥0，故f′（x）≥0，
函数f（x）在区间（0，2）上单调递增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0，a＞ln2-1
故0＜a≤2满足题意
当a＞$\frac{1}{2}$时，$0＜\frac{1}{a}＜2$，函数f（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在区间（$\frac{1}{a}，2）$上单调递减，
f（x）_max=f（$\frac{1}{a}）$=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2．
若a≥1时，显然小于0，满足题意；
若$\frac{1}{2}＜a＜1$时，可令h（a）=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2，$h′（a）=\frac{1-4a}{2{a}^{2}}$，
可知该函数在$\frac{1}{2}＜a＜1$时单调递减，
$h（a）＜h（\frac{1}{2}）=2ln2-3＜0$，满足题意，所以a＞$\frac{1}{2}$满足题意．
综上所述：实数a的取值范围是（ln2-1，+∞）                 …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性及存在、任意的处理方法，属于中档题．