Question

甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为b，乙能攻克的概率为c，丙能攻克的概率为z=（b-3）²+（c-3）²．
（Ⅰ）求这一技术难题被攻克的概率；
（Ⅱ）现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励z=4万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金x²-bx-c=0万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a∈1，2，3，4万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得

a

3

万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据所给的条件知，甲、乙、丙三人独立地，这是一个相互独立事件同时发生的概率，正面解决比较麻烦，需要从对立事件来解决，能够攻克的对立事件是都不能攻克．
（II）由题意得到变量的可能取值，结合变量对应的事件和条件概率的公式，求出每一个变量的概率，写出分布列，做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知这一个技术被攻克的对立事件是三个人都没有攻克，
所求事件的概率P=1-（1-

1

3

）（1-

1

4

）[1-

1

5

]=

24

60

（II）由题意知X的可能取值是0，

a

3

，

a

2

，a
P（X=0）=

1 3 (1- 1 4 × 1 5 )

59 60

=

19

59

，P（X=

a

3

）=

2 3 × 3 4 ×  4 5

59 60

=

24

59

P（X=

a

2

）=

2 3 ( 3 4 × 1 5 + 1 4 × 4 5 )

59 60

=

14

59

，P（X=a）=1-

19

59

-

24

59

-

14

59

=

2

59

∴X的分布列是

X	0	a 3	a 2	a
P	19 59	24 59	14 59	2 59

∴EX=0×

19

59

+

a

3

×

24

59

+

a

2

×

14

59

+a×

2

59

=

17a

59

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是数字的运算比较麻烦，需要认真计算，得到结果．
本题需要改正：甲能攻克的概率为3分之1，乙能攻克的概率为4分之1，丙能攻克的概率为z=5分之1．
（Ⅰ）求这一技术难题被攻克的概率；
（Ⅱ）现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得一半；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得

a

3

万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．