Question

已知函数f（x）满足f（x）=2f（

1

x

），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：由题意可得f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；从而在区间（0，e²）内，a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；结合函数图象求解．

解答： 解：由题意，当0＜x＜1时，
f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx，
故f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；
在区间（0，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，
即在区间（0，e²）内，f（x）-ax=0有3个不同的解，
即在区间（0，e²）内，
a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；
作函数y=

f(x)

x

的图象如下，

结合图象可得，当x∈（1，e²）时，
令y′=

1-lnx

x2

=0得，
x=e；
故y（e）=

1

e

；y（e²）=

2

e2

；
故实数a的取值范围是（

2

e2

，

1

e

）．
故答案为：（

2

e2

，

1

e

）．

点评：本题考查了导数的应用及学生作图的能力，属于中档题．