Question

与抛物线y²=8x相切且倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y²=8x的准线所得的弦长为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知设出直线l的方程y=-x+m，联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求出m的值，得到直线方程，求出A，B的坐标，得到以AB为直径的最小圆的方程，和抛物线的准线联立即可求得弦长．

解答： 解：如图，

设与抛物线y²=8x相切且倾斜角为135°的直线l的方程为y=-x+m，
联立

y=-x+m y2=8x

，得x²-（2m+8）x+m²=0，
由△=（2m+8）²-4m²=0，解得：m=-2．
∴准线l的方程为y=-x-2．
∴直线l与x轴和y轴的交点A（-2，0）和B（0，-2）．
则过A，B两点的最小圆的方程为：（x+1）²+（y+1）²=2．
∵抛物线y²=8x的准线方程为x=-2，
代入圆（x+1）²+（y+1）²=2，得y=0或y=-2．
∴过A，B两点的最小圆截抛物线y²=8x的准线所得的弦长为0-（-2）=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，求出过A，B两点的最小圆的方程是解答该题的关键，是中档题．