Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=3；f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）令g（x）=f（|x|）+m（m∈R），试讨论函数g（x）零点个数的情况，请写出每种情况下对应的m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果，
（2）欲使在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x²-3x+1-m＞0，即x²-3x+1-m的最小值大于0，最后求出x²-3x+1-m的最小值后大于0解之即得．
（3）g（x）=x²-|x|+3+m，令f（|x|）=x²-|x|+3，k（x）=-m，化图象，利用交点判断零点问题．

解答： 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等

2a=2 a+b=0

∴

a=1 b=-1

所以f（x）=x²-x+3，
（2）由题意：x²-x+3＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+3-m＞0在[-1，1]上恒成立g（x）=x²-3x+3-m=（x-

3

2

）²+

3

4

-m
其对称轴为x=

3

2

，
∴g（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴g（x）_min=g（1）=1-3+3-m=1-m＞0，
∴m＜1，
（3）∵f（x）=x²-x+3，g（x）=f（|x|）+m（m∈R），
∴g（x）=x²-|x|+3+m，
令f（|x|）=x²-|x|+3，k（x）=-m，
根据图象运用交点个数判断结合．
当-m=

11

4

，即m=-

11

4

，函数g（x）零点个数为2个，
当

11

4

＜-m＜3，即-3＜m＜-

11

4

，函数g（x）零点个数为4个，
当-m=3，即m=-3，函数g（x）零点个数为3个，
当-m＞3，即m＜-3，函数g（x）零点个数为2个，
当-m＜

11

4

，即m＞-

11

4

，函数g（x）零点个数为0个，

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想数形结合的思想．属于难题．