Question

已知双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，它的渐近线过椭圆

x2

4

+

y2

16

=1和椭圆

ax2

16

+

y2

4

=1（0＜a≤1）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，求出两椭圆的交点，代入渐近线方程，化简整理，再由离心率公式，得到关于a的式子，由a的范围，即可求得e的范围．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
由椭圆

x2

4

+

y2

16

=1和椭圆

ax2

16

+

y2

4

=1，解得，
x²=

48

16-a

，y²=

16(4-a)

16-a

．
由于渐近线过两椭圆的交点，即有

16(4-a)

16-a

=

b2

a2

•

48

16-a

，
化简可得，b²=

a2(4-a)

3

，
由于e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

4-a

3

=

7-a

3

，
由0＜a≤1，则2≤e²＜

7

3

，
则有

2

≤e＜

21

3

．
故答案为：[

2

，

21

3

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的取值范围，考查化简整理能力，属于中档题．