Question

如图，F₁、F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于x轴上方，过点P作x轴的平行线交椭圆右准线于点M，连接MF₂，
（1）若存在点P，使PF₁F₂M为平行四边形，求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）若存在点P，使PF₁F₂M为菱形；
①求椭圆的离心率；
②设A（a，0）、B（0，b），求证：以F₁A为直径的圆经过点B．

Answer 1

分析：（1）先设P（x₀，y₀），利用椭圆的几何性质及平行四边形的性质得出P点横坐标的表达式，再结合椭圆的范围得出关于a，c的不等关系，即可求出椭圆的离心率e的取值范围；
（2）①根据椭圆的两种定义方法，构造关于离心率的关系式，即可求出答案；
②先写出以F₁A为直径的圆方程，再证B（0，b）满足方程即可．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），则M(

a2

c

，y0)，
∵|PM|=|F₁F₂|=2c，
∴

a2

c

-x0=2c⇒x0=

a2

c

-2c，
由-a＜x0＜a⇒-a＜

a2

c

-2c＜a⇒

1

2

＜e＜1；
（2）①e=

|PF2|

|PM|

=

2a-|PF1|

|F1F2|

=

2a-|F1F2|

|F1F2|

=

2a-2c

2c

，⇒e=

1

e

-1⇒e=

-1± 5

2

，
∵0＜e＜1，∴e=

-1+ 5

2

；
②以F₁A为直径的圆方程为（x+c）（x-a）+y²=0，
下证B（0，b）满足方程，即-ac+b²=0…（*），
∵e²+e-1=0，
∴c²+ac-a²=0，
∴ac=a²-c²=b²，∴（*）成立，
∴以F₁A为直径的圆经过点B．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力．属中档题．