Question

已知：函数f_n（x）（n∈N^*）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），其中，并且当n＞1且n∈N^*时，满足．
（1）求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1，2，3时，分别研究函数f_n（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．
【第（3）小题将根据你所提出问题的质量，以及解决所提出问题的情况进行分层评分】

Answer 1

【答案】分析：（1）利用累加法直接求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1当n=1，2，3时，分别利用双勾函数，平方，求出函数f₁（x），f₂（x），f₃（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，求出第一类，结论一：f₄（x）单调性与值域；结论二：f₅（x）的单调性与值域；第二类问题，结论三、当x＞0时，函数f_n（x）的单调性与值域；结论四、当x＜0且n为奇数时，结论五、当x＜0且n为偶数时，函数f_n（x）的单调性与值域；通过数列求和，利用函数的单调性的定义证明即可…
解答：解：（1）由于；                           （2分）
所以；                  （4分）
（2）（每小题结论正确（1分），证明（1分），共6分）
当n=1时，，易证函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
单调递减区间为（-1，0），（0，1）；值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
当n=2时，，易证函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞；单位递减区间为（-∞，-1），（0，1）；因此函数在（-∞，0）值域为[f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域为[5，+∞）
因此函数值域为[1，+∞）
当n=3时，+=f₂（x）+
易证f₂（x）、，在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以+在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
由于=，用定义易证在（-∞，-1）单调递增，在（-1，0）上单调递减．的值域为（-∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：
第一类问题
结论一、单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
结论二、单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
；单调递减区间为（0，1），（-1，0），值域为（-∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及评分说明：解法与类同，结论分2分，证明正确得2分，共4分；
第二类问题
结论三、当x＞0时，
在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，值域为[2n+1，+∞）
 结论四、当x＜0且n为奇数时，在（-1，0）单调递减，在（-∞，-1）单调递增；值域为（-∞，-1]；
结论五、当x＜0且n为偶数时，在（-∞，-1）单调递减，在（-1，0）单调递增；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：结论三的单调性证明可以用数学归纳法完成；即；x＞0时．
①当n=1时，，用定义易证函数在（0，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；计算得值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
 ②设函数（n∈N^*）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）
上单调递增；计算得值域为[2n+1，+∞）
 则f_n+1（x）=f_n（x）+，对于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
= 
=，易证函数f_n+1（x）=f_n（x）+在（0，1）
单调递减，在（1，+∞）上单调递增；值域为[2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得结论成立．
结论四及结论五的证明，可以先求和，后用定义进行证明，即：，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=，容易获得结论的证明．
解法及评分说明：结论分3分，证明正确得3分，共6分；
第三类问题
结论六：当n为奇数时，在（-1，0），（0，1）
单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
结论七：当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）
；值域为[1，+∞）；
结论八：当n为奇数时，在（-1，0），（0，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：解法与第二类问题类同．结论分4分，求解正确得4分，共8分．
点评：本题是开放性问题，通过研究基本函数的单调性，类比到其它的情况，考查分类讨论的思想，函数的单调性的基本证明方法，转化思想的应用，数列求和的应用，难度大，综合性强，多作为压轴题目，竞赛试题出现．