Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，且当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，再把所得图象向右平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间[0，

π

2

]上的所有根之和．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，x∈[0，

π

6

]时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+1，依题意，g（x）=2得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，x∈[0，

π

2

]，可求得x=

π

12

或

π

4

，从而可得答案．

解答：解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴f（x）_min=a+2=2，故a=0，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
故f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
（2）g（x）=2sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin（4x-

π

6

）+1，
由g（x）=2得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，
则4x-

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

（k∈Z），
解得x=

kπ

2

+

π

12

或

kπ

2

+

π

4

，（k∈Z）；
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x=

π

12

或

π

4

，故方程所有根之和为

π

12

+

π

4

=

π

3

．

点评：本题考查：三角函数中的恒等变换应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的单调性，考查综合运算能力，属于难题．