Question

（本小题满分12分）

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分

又∵的离心率为……………………………… 2分

∴，∴a=，b=2………………………… 4分

∴标准方程为………………………………………6分

（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由得……………………7分

∴x₁+x₂=，x₁x₂=

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），

∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………8分

∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分

∴＜0…………… 11分

∴k＜……………………………………………………………… 12分

经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，

∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13

 

【解析】略