【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,设函数有最小值,求的值域.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求出,分和两种情形,利用导数的符号判断函数的单调性即可.
(2)求出并将其化简为,构建新函数,利用(1)的单调性及零点存在定理可得有唯一的,它就是函数最小值点,利用导数可求该最小值的值域.
解:(1)定义域为,
.
令,①
,
当时,,,
即且不恒为零,故单调递增区间为,,
当时,,方程①两根为,,
由于,
.
故,
因此当时,,单调递增,
,,单调递减,
,,单调递减,
,,单调递增,
综上,当时,在单调递增,单调递增,
当时,在单调递增,
,单调递减;
在单调递增.
(2),
设,
由(1)知,时,在单调递增,
由于,,
故在存在唯一,使,
,
又当,,即,单调递减,
,,即,单调递增,
故时,
,.
又设,,
,
故单调递增,故,
即,即.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,且为的中点,延长交于点,且在底内的射影恰为的中点,为的中点,为上任意一点.
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于M,N两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线与椭圆在第一象限内的交点是,点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,椭圆另一个焦点是,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点,且与椭圆交于两点,求的内切圆面积的最大值.
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【题目】已知抛物线:上一点到其焦点的距离为5.
(1)求与的值;
(2)设动直线与抛物线相交于,两点,问:在轴上是否存在与的取值无关的定点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
第一种生产方式 | ||
第二种生产方式 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:,
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