Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数有最小值，求的值域.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）先求出，分和两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.

（2）求出并将其化简为，构建新函数，利用（1）的单调性及零点存在定理可得有唯一的，它就是函数最小值点，利用导数可求该最小值的值域.

解：（1）定义域为，

.

令，①

，

当时，，，

即且不恒为零，故单调递增区间为，，

当时，，方程①两根为，，

由于，

.

故，

因此当时，，单调递增，

，，单调递减，

，，单调递减，

，，单调递增，

综上，当时，在单调递增，单调递增，

当时，在单调递增，

，单调递减；

在单调递增.

（2），

设，

由（1）知，时，在单调递增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又当，，即，单调递减，

，，即，单调递增，

故时，

，.

又设，，

，

故单调递增，故，

即，即.