Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，且为的中点，延长交于点，且在底内的射影恰为的中点，为的中点，为上任意一点.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据平面ABCD，得到，由平面几何知识得到，从而得到平面，所以所以平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.

（1）由题意，E为CD的中点，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，又因为，

，，

所以垂直平分，

所以

又因，

所以为正方形，

所以

因为为的中点，

所以

而，所以，

又，所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H，

所以.

因为，所以过点O分别作AD，AB的平行线（如图），

并以它们分别为x，y轴，

以过O点且垂直于平面的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，所以

令，则，

由（1）知，平面，所以平面，

所以为平面的一个法向量，

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.