【题目】已知数列{bn}是首项b1=1,b4=10的等差数列,设bn+2=3log an(n∈n*).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)记cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)记dn=(3n+1)Sn , 若对任意正整数n,不等式 +
+…+
>
恒成立,求整数m的最大值.
【答案】
(1)证明:b1=1,b4=10,可得
公差d= =3,bn=1+3(n﹣1)=3n﹣2;
bn+2=3log an=3n,
则an=( )n,
由 =
,
可得数列{an}是首项为 ,公比为
的等比数列;
(2)解:cn= =
=
(
﹣
),
则前n项和Sn= (1﹣
+
﹣
+…+
﹣
)
= (1﹣
)=
;
(3)解:dn=(3n+1)Sn=(3n+1) =n.
则问题转化为对任意正整数n使
不等式 +
+…+
>
恒成立.
设 ,
则f(n+1)﹣f(n)=[ +
+…+
]﹣(
+
+…+
)
= +
﹣
=
>0
所以f(n+1)>f(n),故f(n)的最小值是f(1)= ,
由 <
恒成立,即m<12,
知整数m可取最大值为11.
【解析】(1)运用等差数列的通项公式,可得公差d=3,进而得到bn=3n﹣2,再由对数的运算性质和等比数列的定义,即可得证;(2)求得cn= =
=
(
﹣
),再由数列的求和方法:裂项相消求和即可得到所求和;(3)求得dn=(3n+1)Sn=(3n+1)
=n.设
,判断为单调递增,求得最小值f(1),再由恒成立思想可得m的范围,进而得到最大值.
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【题目】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
(1)证明:B1M⊥平面ABM;
(2)求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量 ,
,且
.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面积为 ,求a+c的值.
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【题目】如图,四棱锥 中,底面ABCD是直角梯形,
,
,平面
底面ABCD, O为AD的中点, M是棱PC上的点, AD=2AB.
(1)求证:平面 平面PAD;
(2)若 平面BMO,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线l与曲线C:
,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知向量 =(1,sinθ),
=(3,1).
(1)当θ= 时,求向量2
+
的坐标;
(2)若 ∥
,且θ∈(0,
),求sin(2θ+
)的值.
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