Question

已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y²＝4x相交于A、B两点．O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP面积最大．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如图所示，|AB|是定值，△PAB的面积最大．只需P到AB的距离最大，即只需点P是抛物线上平行于AB的切线的切点．设P(x，y)，由图知点P在x轴下方的图象上，所以．所以＝． 　　因为kAB＝，所以，x＝4． 　　又y2＝4x(y＜0)时，y＝－4，所以P(4，－4)． 　　解法二：设P()．因为|AB|为定值，要使△PAB的面积最大，只需P到直线AB：x＋2y－4＝0的距离最大． 　　设距离为d，则 　　d＝， 　　y0∈()． 　　当y0＝－4时，d最大． 　　此时△PAB的面积最大，所以P(4，－4)． 　　思路分析：依题意|AB|为定值，只要P点到AB的距离最大，S△ABP就最大，问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大．由导数的几何意义，知P为抛物线上与AB平行的切线的切点，求出P点坐标即可，也可用解析几何知识求解．

提示：

解法一是利用导数的几何意义解题，注意数形结合思想的运用；解法二是用函数的方法求P点的坐标，注意配方法的运用．