Question

已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y²＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP面积最大．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：如图所示，|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大， 　　只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点， 　　设P(x，y)．由图知，点P在x轴下方的图像上，所以y＝－2． 　　所以＝． 　　因为kAB＝， 　　所以＝，x＝4． 　　由y2＝4x(y＜0)，得y＝－4， 　　所以P(4，－4)． 　　方法二：设P(，y0)，因为|AB|为定值，要使△PAB的面积最大，只要P到直线AB：x＋2y－4＝0的距离最大，设为d，则 　　d＝＝|(y0＋4)2－8|， 　　y0∈(－4－4，4－4)． 　　当y0＝－4时，d最大，此时△PAB的面积最大，所以P(4，－4)． 　　解析：方法一依题意|AB|为定值，只要P点到AB的距离最大，S△ABP就最大，问题转化为在抛物线的弧上求一点P到直线AB的距离最大，由导数的几何意义，知P为抛物线上与直线AB平行的切线的切点，求出P点坐标即可．方法二可用解析几何知识求解．