Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若$\overrightarrow{b}$=（2，2），且m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$垂直，求实数m．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，知$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，由此能求出$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）由已知向量的坐标求出m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$的坐标，再由m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$垂直列式求得实数m．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，
知$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
故$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，2），得
m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=m（1，2）-（2，2）=（m-2，2m-2），
$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$=（1，2）-m（2，2）=（1-2m，2-2m）．
由m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$垂直，得：（m-2）（1-2m）+（2m-2）（2-2m）=0，解得：m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查数量积判断两个平面向量垂直，是基础题．