Question

10．已知圆：x²+y²+x-6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为$-\frac{1}{2}$．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求
（1）直线l方程；
（2）求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用直线l过（1，1）且斜率为$-\frac{1}{2}$，可得直线的方程；
（20先将直线与圆的方程联立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y₁•y₂=$\frac{12+c}{5}$．因为OP⊥OQ，转化为x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答 解：（1）∵直线l过（1，1）且斜率为$-\frac{1}{2}$，
所以直线的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0；
（2）设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+c=0
化简得：5y²-20y+12+c=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+c}{5}$．
所以x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×$\frac{12+c}{5}$=c-3=0
解得：c=3．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．